Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=6时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先去绝对值，将函数解析式用分段函数表示，画出函数图象可得函数的单调减区间；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，故只要x-

1

x

＜a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，由此可知答案．

解答：解：（1）f（x）=x|x-6|+2x=

x2-4x  ，x＞6 8x-x2  ，x≤6

由图可得f（x）的单调减区间为（4，6）…（6分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，
∴x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，…（10分）
①当x∈[1，2]时y=x-

1

x

，有y′=1+

1

x2

＞0，故y=x-

1

x

在[1，2]为增函数，
所以（x-

1

x

）_max=

3

2

；     …（12分）
②当x∈[1，2]时，y=x+

1

x

，有y′=1-

1

x2

≥0，故y=x+

1

x

在[1，2]为增函数，
所以（x+

1

x

）_min=2，…（14分）
综上所述 

3

2

＜a＜2      …（16分）

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．