Question

22.已知a＞0，函数f（x）=ax－bx².

（Ⅰ）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a＜2；

（Ⅱ）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；

（Ⅲ）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件.

Answer 1

22.

（Ⅰ）证明：依设，对任意x∈R，都有f（x）≤1，

 

∵f（x）=－b（x－）²+，

∴f（）=≤1，

∵a＞0，b＞0，∴a≤2.

 

（Ⅱ）证明：

必要性

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），据此可以推出－1≤f（1），

即a－b≥－1，∴a≥b－1；

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b＞1，可以推出f（）≤1，

即a·－1≤1，

∴a≤2；

∴b－1≤a≤2.

充分性

因为b＞1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx²≥b（x－x²）－x≥－x≥－1，

即ax－bx²≥－1；

因为b＞1，a≤2，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx²≤2x－bx²≤1，

即ax－bx²≤1.

∴－1≤f（x）≤1.

综上，当b＞1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.

 

（Ⅲ）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］：

f（x）=ax－bx²≥－b≥－1，即f（x）≥－1；

f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b+1，

a≤b+1f（x）≤（b+1）x－bx²≤1，即f（x）≤1.

所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b+1.