Question

已知a＞0，函数f(x)=

|x-2a|

x+2a

在区间[1，4]上的最大值等于

1

2

，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：讨论x-2a在区间[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答：解：（1）当x-2a在区间[1，4]上恒大于零时，
∵x-2a＞0，∴a＜

x

2

；
当x=1时，满足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜

1

2

；
此时函数f（x）=

x-2a

x+2a

=1-

4a

x+2a

，
该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=

1

2

，
∴a=

2

3

，不满足a＜

1

2

的假设，舍去．
（2）当x-2a在区间[1，4]上恒小于零时，
∵x-2a＜0，∴a＞

x

2

；
当x=4时，满足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此时函数f（x）=

-(x-2a)

x+2a

=

4a

x+2a

-1，
该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=

1

2

，
∴a=

3

2

，不满足a＞2的假设，舍去．
（3）由前面讨论知，当

1

2

＜a＜2时，x-2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，
①当x＜2a时，x-2a＜0，此时函数f（x）=

4a

x+2a

-1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=

1

2

；
②当x＞2a时，x-2a＞0．此时函数f（x）=1-

4a

x+2a

在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=

1

2

；
总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；
当函数在x=1处取最大值时，解得a=

3

2

，此时函数f（x）=

|x-3|

x+3

，将函数的另一个最大值点x=4代入得：
 f（4）=

1

7

，
∵f（1）＞f（4），∴满足条件；
当函数在x=4处取最大值时，解得a=

2

3

，此时函数f（x）=

|x- 4 3 |

x+ 4 3

，将函数的另一个最大值点x=1代入得：
f（1）=

1

7

，
∵f（1）＜f（4），∴满足条件；
∴a=

2

3

或a=

3

2

；
故答案为：

2

3

或

3

2

．

点评：本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，是易错题．