题目内容

设f(x)是R上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数，且有f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋1)，求实数a的取值范围．

答案：
解析：

　　解：设0＜x1＜x2，则－x2＜－x1＜0，

　　又函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，

　　所以有f(－x2)＜f(－x1)．

　　又f(x)是R上的偶函数，

　　则f(－x1)＝f(x1)；f(－x2)＝f(x2)，

　　所以f(x2)＜f(x1)，

　　则函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

　　又2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋＞0，2a2－2a＋1＝2(a)2＋＞0．

　　所以若f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋1)成立，

　　则有2a2＋a＋1＞2a2－2a＋1．

　　解得a＞0．所以，实数a的取值范围是(0，＋∞)．

　　思路分析：解此类题应抓住“奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反”这一性质．


练习册系列答案
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18、设F（x）的定义域为R，且满足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定义在R上的函数f（x）满足下述条件：①f（x）是奇函数；②f（x+2）是偶函数；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）设G（x）=f（x+4），判断G（x）的奇偶性并证明；（2）解关于x的不等式：f（x）≤1．
设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上任意两个不等的实根，设|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且y=f（x）为奇函数，判断函数y=g（x）的奇偶性并说明理由．
（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．
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（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，b=
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，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
（1）求证f（0）=0；
（2）判断f（x）在R上的奇偶性并证明．
已知定义在R上的函数f（x）满足：
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②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上为增函数．
（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；
（ⅱ）解不等式f（x）＞1．

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