题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=
,求证：
对任意实数x∈(1,e］(e是常数,e=2.718 28…)和任意正整数n,总有Tn＜2；
(3)正数数列{cn}中,an+1=(cn)n+1(n∈N*),求数列{cn}中的最大项.
(1)解：由已知：对于n∈N*,
总有2Sn=an+an2 ①成立,
∴2Sn-1=an-1+an-12(n≥2). ②
①-②,得2an=an+an2-an-1-an-12,
∴an+a n-1=(an+a n-1)(an-a n-1).
∵an,a n-1均为正数,
∴an-a n-1=1(n≥2).
∴数列{an}是公差为1的等差数列.
又n=1时,2S1=a1+a12,解得a1=1.
∴an=n(n∈N*).
(2)证明：∵对任意实数x∈(1,e］和任意正整数n,总有bn=≤
,
∴Tn≤
+
+…+
＜1+
+
+…+
=1+1-
+
+…+
=2
＜2.
(3)解：由an+1=(cn)n+1知lncn=
,
令f(x)=
,则f′(x)=
=
.
∵当x≥2时,ln(x+1)＞1,则1-ln(x+1)＜0,即f′(x)＜0,
∴在［2,+∞)内f(x)为单调递减函数.
∴n≥2时,{lncn}是递减数列,即{cn}是递减数列.
c1=
=
,c2=
=
,得c1＜c2.
∴数列{cn}中的最大项为c2=
.
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目