Question

4．某厂生产一种仪器，由于受生产能力与技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）（x∈N^*）之间大体满足如框图所示的关系（注：次品率$P=\frac{次品数}{生产量}$，如P=0.1表示每生产10件产品，约有1件次品，其余为合格品）．又已知每生产一件合格的仪器可以盈利A（元），但每生产一件次品将亏损$\frac{A}{2}$（元）．
（Ⅰ）求日盈利额T（元）与日产量x（件）（x∈N^*）的函数关系；
（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？

Answer 1

分析 （Ⅰ）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损，整理即可得到；
（Ⅱ）当x＞c时，每天的盈利额T=0；当1≤c＜84时，利用基本不等式可得x=c时，等号成立，利润最大；当84≤c＜96时，当x=84时，利润最大．

解答 解：（Ⅰ）当1≤x≤c时，T=（1-$\frac{1}{96-x}$）xA-$\frac{1}{96-x}$xA=[x-$\frac{3x}{2（96-x）}$]A，
当x＞c时，T=$\frac{1}{3}$xA-$\frac{2}{3}$x$\frac{A}{2}$=0，
$T=\left\{\begin{array}{l}[x-\frac{3x}{2（96-x）}]A\\ 0\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{（1≤x≤c}&{x∈{N^*}）}\\{（x＞c}&{x∈{N^*}）}\end{array}$…3分
（Ⅱ）（1）当x＞c时，每天的盈利额T=0；
（2）当1≤x≤c且x∈N时，$T=[x-\frac{3x}{2（96-x）}]A$，
令96-x=t，则0＜96-c≤t≤95（t∈N），
可得：$T=[96-t-\frac{3}{2}•\frac{96-t}{2t}]•A=（\frac{195}{2}-t-\frac{144}{t}）A$，
令$g（t）=t+\frac{144}{t}$，
①当1≤c＜84时，12＜96-c＜t≤95，g（t）在区间（12，95）为单增函数，
可得：$g{（t）_{min}}=g（96-c）=（96-c）+\frac{144}{96-c}$，$T≤[\frac{195}{2}-（96-C）-\frac{144}{96-C}]A=\frac{{189c-2{c^2}}}{192-2c}A＞0$（当且仅当x=c时取等号），
∴当x=c时，Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A，…9分
②当84≤c＜96时，$g（t）≥2\sqrt{t•\frac{144}{t}=}24$，$T≤（\frac{195}{2}-24）A=\frac{147}{2}A＞0$．
∴当t=12即x=84时，Tmax=$\frac{147}{2}$A
综上，当1≤c＜84时，Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A；84≤c＜96时，Tmax=$\frac{147}{2}$A…12分

点评 本题考查了利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，是中档题．