Question

下列命题中真命题的序号是

 

①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②若（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a₁+2a₂+3a₃+4a₄=8；
③函数f（x）有f（x）=f（x+1）f（x-1），则f（2013）f（0）=1；
④若f（1-x）=-f（x+1），则函数y=f（x-1）的图象关于点（2，0）对称．

Answer 1

分析：①通过平移变换可得到：函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称，故①不正确；
②对已知等式两边求导（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，再令x=1即可判断出结论；
③对f（x）=f（x+1）f（x-1），分别令x=1，2，…，2013，即可得出；
④函数y=f（x-1）的图象关于点（2，0）对称?函数y=f（x+1）的图象关于原点对称?函数y=f（x+1）是奇函数?f（-x+1）=-f（x+1），由已知即可判断出．

解答：解：①y=f（x-2）的图象的图象是将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到，函数y=f（-x+2）的图象可以看做把函数y=f（x）的图象先作关于y轴对称的图象得y=f（-x），
再将函数y=f（-x）的图象向右平移2个单位，即可得到函数y=f（-x+2）的图象．由上面的变换可知：函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称，故①不正确；
②对（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，两边求导得8(2x-3)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x=1得-8=a₁+2a₂+3a₃+4a₄，可知②不正确；
③∵f（x）=f（x+1）f（x-1），分别令x=1，2，…，2013，则f（1）=f（2）f（0），f（2）=f（3）f（2），…，f（2012）=f（2013）f（2011），相乘可得f（2013）f（0）=1，故③正确；
④∵f（1-x）=-f（x+1），∴函数y=f（x+1）是奇函数，其图象关于原点对称，
将函数y=f（x+1）的图象向右平移两个单位，得函数y=f（x-1）的图象，可知此图象关于点（2，0）对称，因此④正确．
综上可知：只有③④正确．
故答案为③④．

点评：正确理解变换及对称、利用导数求多项式的值是解题的关键．