Question

7．已知下列四个命题：
①若a＞0，b＞0，则a^lnb=b^lna；
②若x∈R，则cos（sinx）=sin（cosx）；
③不存在一个多项式函数P（x），使得对任意的实数x都有|P（x）-cosx|≤10^-3；
④若x＞0，则x⁴+3+x^-4≥5．
其中正确的命题的个数是3．

Answer 1

分析 ①由a＞0，b＞0，可得lnblna=lnalnb，因此a^lnb=b^lna，即可判断出正误；
②取x=0，则cos（sin0）=1，sin（cos0）=sin1，即可判断出正误；
③由于0≤|cosx|≤1，|P（x）|→+∞（|x|→+∞），因此不存在一个多项式函数P（x），使得对任意的实数x都有|P（x）-cosx|≤10^-3，即可判断出正误；
④利用基本不等式的性质，即可判断出正误正确．

解答 解：①∵a＞0，b＞0，∴lnblna=lnalnb，∴a^lnb=b^lna，正确；
②取x=0，则cos（sin0）=1，sin（cos0）=sin1，因此cos（sinx）≠sin（cosx），故不正确；
③由于0≤|cosx|≤1，|P（x）|→+∞（|x|→+∞），因此不存在一个多项式函数P（x），使得对任意的实数x都有|P（x）-cosx|≤10^-3，故正确；
④若x＞0，则x⁴+3+x^-4≥$2\sqrt{{x}^{4}•\frac{1}{{x}^{4}}}$+3=5，当且仅当x=1时取等号，正确．
其中正确的命题的个数是3．
故答案为：3．

点评 本题考查了函数的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．