Question

已知两定点，，满足条件=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】分析：先判断曲线E形状，求出曲线E的方程，直线AB方程代入，利用判别式及根与系数关系求出直线AB斜率范围，利用弦长公式求出斜率k的值，得到直线AB方程．设出点C的坐标，依据条件用m表示点C的坐标，再代入曲线E的方程求得m值，点C到直线AB的距离为高，计算三角形面积．
解答：解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知b=1
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，
有
解得
又∵
=
=
=
依题意得
整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴或但
∴
故直线AB的方程为
设C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴，（m≠0）
又，
∴点C（，）
将点C的坐标代入曲线E的方程，得
得m=±4，但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，C点的坐标为C到AB的距离为
∴△ABC的面积．
点评：本题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力．