Question

设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a，
（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知a＞0，0＜x＜a，使得a+xlnx＞0，试研究a＞0时函数y=f（x）的零点个数。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
，
∴，
∴，
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，∴g（x）的递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，，
∴g（x）的递减区间为（0，a），递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）a＞0时，由（Ⅰ）知，f′（x）的递减区间为（0，a），递增区间为（a，+∞），
∴，
①当lna+1≥0，即时，有f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）为（0，+∞）上的增函数，
又，，
∴，
∴，使得，
∵f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴为f（x）的唯一的零点；
②当时，，
由条件提供的命题：“，使得a+xlnx＞0” 为真命题，
即，使得，
所以，使得，
∵f′（x）在区间（0，a）上为减函数，
∴，
又，
∴，
∴，使得，
∵f′（x）在区间（a，+∞）上为增函数，
∴，
所以，f（x）的递增区间为和，递减区间为，
，
∴，
∴，
∵f（x）在上为递减函数，
∴，
∴恒成立，
，
∴在区间上，函数f（x）有且只有一个零点；
综上，a＞0时，函数f（x）有且只有一个零点。