Question

数列{a_n}满足a₁=2，．
（1）设，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，结合条件，可得b_n+1-b_n=，利用叠加法，可求数列{b_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论．
解答：解：（1）∵，
∴-=
∵
∴b_n+1-b_n=
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=
∵，a₁=2，
∴b₁=1
∴b_n=；
（2）由（1）知，a_n=，∴，
∴=[]
∴S_n==
∵=得到递减，
∴=
∴，即．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．