Question

已知函数

（1）若函数时有极值且在函数图象上的点（0，1）处的切线与直线的解析式；

（2）当取得极大值且加取得极小值时，设点M（）所在平面区域为S，经过原点的直线L将S分别面积比为1：3的两部分求直线L的方程。

Answer 1

解：（1）由

函数时有极值，

又处的切线与直线平行，

 

（2）解法一：由取得极大值且在取得极小值，

即

令

故点M所在平面区域S为如图△ABC，

易得

同时DE为△ABC的中位线，

∴所求一条直线L的中位线，x=0

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积经为1：3的两部分，设直线L方程为，它与AC，BC分别交于F、G，则k>0，S_{四边形DEGF}=1

由得点F的横坐标为：

由得点G的横坐标为：

即得

解得：（舍去）

故这时直线方程为，

综上，所求直线方程为：x=0或

（2）解法二：由取得极大值且在取得极小值，

即

令

故点M所在平面区域S为如图△ABC，

易得

同时DE为△ABC的中位线，

∴所求一条直线L的方程为，x=0

另一种情况由于直线BO方程为：，

设BO与AC交于H，

由得直线L与AC交点为：

∴所求直线方程为：x=0或。