Question

在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB．
（1）求∠C的度数；
（2）在△ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用和差化积和积化和差公式化简sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，解方程可求∠C的度数；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，可以表示出a、b，求内切圆半径r的表达式，然后求其取值范围．

解答：解：（1）∵sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，
∴2sinCcos

A+B

2

•cos

A-B

2

=2sin

A+B

2

•cos

A-B

2

．
在△ABC中，-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

．
∴cos

A-B

2

≠0．∴2sin

C

2

cos²

C

2

=sin

C

2

，
cos

C

2

=

2

2

．
∵0＜C＜π，∴∠C=

π

2

．
（2）设Rt△ABC中，角A和角B的对边分别是a、b，则有a=sinA，b=cosA．
∴△ABC的内切圆半径
r=

1

2

（a+b-c）=

1

2

（sinA+cosA-1）
=

2

2

sin（A+

π

4

）-

1

2

≤

2 -1

2

．
∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0＜r≤

2 -1

2

．

点评：本题考查和差化积和积化和差公式，三角函数的化简求值，考查学生计算能力，是中档题．