Question

已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a²-b²=1，由此可求椭圆方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，则△F₁MN的周长=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F₁MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得=3，…（2分）
又a²-b²=1，解得a=2，b=，…（3分）
故椭圆方程为=1…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，
则△F₁MN的周长=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此最大，R就最大，…（6分）
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）
得，，
则=，…（9分）
令t=，则t≥1，
则，…（10分）
令f（t）=3t+，则f′（t）=3-，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即当t=1，m=0时，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．
故直线l：x=1，△F₁MN内切圆面积的最大值为π…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．