Question

已知椭圆的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0），离心率e=

5

3

，P为椭圆上一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若PF₁⊥PF₂，求S_△PF1F2．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的定义得到2a，再利用椭圆的离心率公式列出关于a，c的方程，求出c，利用椭圆中的三个参数的关系求出b，写出椭圆的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面积公式求出△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）由题知：c=5，e=

c

a

=

5

3

，得a=3

5

，所以b²=a²-c²=20
所以椭圆的标准方程为：

x 2

45

+

y2

20

=1------------（5分）
（2）由|PF₁|+|PF₂|=2a=6

5

，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，可得：
|PF₁|•|PF₂|=40，所以，S_△PF1F2．=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=20------------（10分）

点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．