Question

【题目】如图，矩形中， ， ， 在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）连接交于点，根据对应边成比例可证得两个直角三角形相似，由此证得，而，故平面，所以.（II）由（I）知平面，以为原点联立空间直角坐标系，利用平面和平面的方向量，计算两个半平面所成角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以 ，

所以，所以，所以，

即， ，又， ,平面.

所以平面.

又平面，所以.

（Ⅱ）因为平面平面，

由（Ⅰ）知， 平面，

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.

在中，易得， ， ，

所以， ， ，

则， ，

设平面的法向量，则，即，解得，

令，得，

显然平面的一个法向量为.

所以 ，所以二面角的余弦值为.