Question

已知圆C与圆C₁：（x+1）²+y²=1外切，与圆C₂：（x-1）²+y²=9内切．
（Ⅰ）求圆心C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设P（-2，0），M、N是轨迹T上不同两点，当PM⊥PN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点C的轨迹是以C₁、C₂为焦点，长轴长2a=4的椭圆，由此能求出点C的轨迹T的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线MN：x=my+b，由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得（3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能证明直线MN：x=my-

2

7

过定点 （-

2

7

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵圆C与圆C₁：（x+1）²+y²=1外切，与圆C₂：（x-1）²+y²=9内切，
设圆C的半径为r，∴|CC₁|=r+1，|CC₂|=3-r，
∴|CC₁|+|CC₂|=4，…（2分）
∴点C的轨迹是以C₁、C₂为焦点，长轴长2a=4的椭圆
∴点C的轨迹T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线MN：x=my+b   …（6分）
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0…（7分）
∴y₁+y₂=-

6mb

3m2+4

，y₁y₂=

3b2-12

3m2+4

，
∵PM⊥PN，

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂），
∴

PM

•

PN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2）（my₂+b+2）+y₁y₂=0…（9分）
整理，得(m2+1)y1y2+m(b+2)(y1+y2)+(b+2)2=0…（10分）
∴（m²+1）•

3b2-12

3m2+4

+m （b+2）•（-

6mb

3m2+4

）+（b+2）2=0
化简，得7b²+16b+4=0…（11分）
解得b=-

2

7

或b=-2（舍去），…（12分）
故直线MN：x=my-

2

7

过定点 （-

2

7

，0）．

点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积等知识点的合理运用．