Question

已知双曲线方程为，椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点．
（1）当，b=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：与y轴交于点P，与椭圆交与A，B两点，若O为坐标原点，△AOP与△BOP面积之比为2：1，求直线l的方程；
（3）若a=1，椭圆C与直线l'：y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值．

Answer 1

解：（1）设双曲线的焦点为（±c，0）（c＞0），则椭圆C的方程为，其中c²=a²+b²
将代入，可得椭圆C的方程为；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|x₁|：|x₂|=2：1，可知．
联立椭圆和直线的方程，得，消元得，可知，，即x₁与x₂异号，所以x₁=-2x₂．
代入上式，得，消元，得．
所以直线方程为
（3）联立椭圆和直线的方程，得方程组，其中c²=b²+1
消去y，可得（+）x²++-1=0
∴△=，
解得b²≥12，所以c²≥13，当且仅当时长轴长最短，是．
分析：（1）根据椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点，设椭圆方程，将代入，可得椭圆C的方程；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），联立椭圆和直线的方程，利用韦达定理及x₁=-2x₂，即可求直线l的方程；
（3）联立椭圆和直线的方程，利用判别式大于等于0，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．