Question

过抛物线y=ax²(a＞0)的顶点O作两条互相垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点.

Answer 1

证明：设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)，显然x₁≠x₂，y₁=ax₁²,y₂=ax₂²,

所以直线PQ的斜率为k_PQ=.

由OP⊥OQ，得x₁x₂+y₁y₂=0,

即x₁x₂+a²x₁²x₂²=0.

因为a＞0,x₁≠0,x₂≠0,

所以a²x₁x₂=-1.

所以ax₁x₂=

所以直线PQ的方程为y-ax₁²=a(x₁+x₂)(x-x₁),

即y=a(x₁+x₂)x-ax₁x₂.

所以y=a(x₁+x₂)x+.

显然点（0，）适合方程，

即直线PQ恒过定点M（0，）.