Question

2．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n=2ⁿ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+n，求b₁+b₂+…+b₁₀的值．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n+n，得b₁=2+1=3，n≥2时，b_n=2^n-1+n，由此能求出b₁+b₂+…+b₁₀的值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，
∴a₁=S₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
n=1时，2^n-1=1≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵b_n=a_n+n，
∴b₁=2+1=3，
n≥2时，b_n=2^n-1+n，
∴b₁+b₂+…+b₁₀=3+2+2²+…+2⁹+2+3+…+10
=3+$\frac{2（1-{2}^{9}）}{1-2}$+$\frac{9（2+10）}{2}$
=3+1022+54
=1079．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．