Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.

（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；

（2）求证：⊥平面PCD；

（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；

（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；

（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

（1）连结，由题意得，，

又由，得，

平面，平面，

平面．

（2）取棱中点，连结，

依题意得，

又平面平面，平面平面，

平面，

又平面，，

又，，

平面．

（3）连结，由（2）中平面，

知是直线与平面所成角，

是等边三角形，，且为中点，

，又，

在中，．

直线与平面所成角的正弦值为．