Question

【题目】已知椭圆： （）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线： 的交点所在的直线经过.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于， 两点，与抛物线无公共点，直线与交于， 两点，其中点， 在轴上方，求四边形的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）由焦距可得，故椭圆与抛物线交点坐标为，利用椭圆的定义求得，利用解得，由此求得椭圆的方程；（II）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用判别式小于零求得的取值范围.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，写出的弦长，求得两条直线的距离，代入面积公式，化简后利用基本不等式求取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）依题意得，则， .

所以椭圆与抛物线的一个交点为，

于是 ，从而.

又，解得

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线： ，

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得，

设， ，则， ，

所以 ，

与间的距离（即点到的距离），

由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，

故 ，

令，则 ，

所以四边形的面积的取值范围为.