Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，过一面对角线AB₁且与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D．

(1)确定D点的位置，并证明你的结论；

(2)证明平面AB₁D⊥平面AA₁D；

(3)若AB＝6，AA₁＝4，求直线BC₁与平面AB₁D的距离；

(4)若AB∶A₁A＝k，问是否存在实数k，使平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小为45°？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：如图，将正三棱柱ABC－A₁B₁C₁补成直平行六面体ABCE－A₁B₁C₁E₁，从而有AE₁∥BC₁．

　　∴BC₁∥面AB₁E₁．

　　∴面AB₁E₁为所求平行平面，此时面AB₁E₁与A₁C₁交于点D．

　　又A₁B₁C₁E₁为平行四边形，∴D为A₁C₁中点．

　　(2)证明：连结AD，由直平行六面体定义知：AA₁⊥面A₁B₁C₁E₁，

　　∴AA₁⊥B₁D．

　　又A₁B₁C₁E₁为菱形，∴B₁D⊥A₁C₁．∴B₁D⊥面AA₁D．

　　又B₁D面AB₁D，∴面AB₁D⊥面AA₁D．

　　(3)解法一：∵BC₁∥平面AB₁D，

　　∴只需求C₁到平面AB₁D的距离．

　　又A₁D＝DC₁，故只需求A₁到面AB₁D的距离即可．

　　由(2)知面AB₁D⊥面AA₁D，

　　所以过A₁作A₁M⊥AD，则A₁M⊥平面AB₁D．

　　∴A₁M为所求．

　　由A₁D·AA₁＝A₁M·AD，得A₁M＝．

　　解法二：由，

　　得，

　　∴，即C₁到平面AB₁D的距离为．

　　(4)如图，过点D作DG⊥A₁B₁于点G，则DG⊥面A₁B₁BA．

　　过G作GH⊥AB₁于点H，连结DH，则DH⊥AB₁，

　　∴∠DHG为A₁－AB₁－D的平面角．

　　若∠DHG＝45°，设AA₁＝a，则AB＝ka，DG＝ka．

　　∵AA₁∶AB₁＝GH∶GB₁，

　　∴GH＝，GH＝DG＝．

　　∴k＝．

　　∴存在k＝，使平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小为45

　　解析：(1)线面平行，转化为线线平行，故可通过补形进行平移；(2)要证面面垂直，需证线面垂直；(3)要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离；(4)对探索性问题，不妨假设存在，然后求解或推理论证．