Question

已知：关于实数x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，向量

a

=(-1，1，1)，

b

=(1，0，-1)，

c

=

a

+t

b

，当|

c

|取得最小值时，求：实数t的值及此时|

c

|的值．

Answer 1

分析：根据关于实数x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，得出△≥0，解得t的取值范围，再根据向量模的概念求出|

c

|的表达式，最后利用二次函数的性质求出最小值即可．

解答：解：∵关于实数x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，
∴△=（t-2）²-4（t²+3t+5）≥0----------（2分）
解得：-4≤t≤-

4

3

-----------（2分）       
∵向量

a

=(-1，1，1)，

b

=(1，0，-1)，
∴|

c

|2=(

a

+t

b

)2=2(t-1)2+1-----------（3分）
当t=-

4

3

，|

c

|min=

107 9

---------------（3分）

点评：本小题主要考查向量的模、二次函数的性质、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．