Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，沿对角线BD将△BCD折起，此时C点的新位置C′满足AC′=2.?

(1)求证：平面ABC′⊥平面ABD；?

(2)求二面角C′BDA的大小.?

Answer 1

(1)证明：在△ABC′中，由AC′=,AB=3,C′B=1,得AC′²+BC′²=AB².?

∴∠BC′A=90°.∴C′B⊥AC′.?

∵BC′⊥DC′,∴BC′⊥面ADC′.?

∵AD面ADC′,AD⊥BC′,AD⊥AB,∴AD⊥面ABC′.?

∵AD面ABD，∴面ABC′⊥面ABD.?

(2)解析：∵平面ABC′⊥平面ABD，过C′作C′P⊥AB，∴C′P⊥面ABD.?

再过P作PQ⊥BD交BD于Q，连结CQ，则由三垂线定理可得C′Q⊥BD.?

故∠C′QP即为二面角C′-BD-A的平面角.?

利用已知可求得C′P=,PQ=,tan∠C′QP=.?

故二面角C′-BD-A的大小为arctan.