Question

（本小题满分16分）

数列的首项为1，前项和是，存在常数使对任意正整数都成立。

（1）设,求证：数列是等比数列；

（2）设数列是等差数列，若，且,求的值。

（3）设,且对任意正整数都成立，求的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）时，，

当时，由得，

即，所以，数列是等比数列．       …………………………………4分

（Ⅱ）设数列的公差为，分别令得：

，即，解得，

即等差数列是常数列，所以；        …………………………………7分

又，则，

，，

因，所以，解得．   …………………………………10分

（Ⅲ）当时，，所以

所以，

当时，由得，

即

所以，又

即数列是公比为的等比数列，

所以，即，  …………………………12分

，

①当时

且的值随的增大而减小，

即，

所以，，即的取值范围是；…………………………………14分

②当时

且的值随的增大而增大，

即，

所以，，即的取值范围是．…………………………………………16分