Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，证明：；

（Ⅱ）当时，恒成立，求正实数的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）令，然后求其导函数，再根据导函数的结构特点构造新函数，从而通过求导研究新函数的单调性，进而使问题得证；（Ⅱ）首先将问题转化为对于任意恒成立，从而令，然后求出其导函数，再根据导函数的结构特点构造新函数，通过求导研究新函数的单调性，进而得到的单调性，由此可求得的值．

试题解析：（Ⅰ）令，则

令则

时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以单调递增，

则即原命题成立．

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，

等价于，对于任意恒成立，

令，则．

令，

则．

由（Ⅰ）得，则在上单调递减．

（1）当时，，且

在上，单调递增，在上，单调递减，所以的最大值为，即恒成立．

（2）当时，，

时，由，解得．

即时，，单调递减，又，所以此时，

与恒成立矛盾．

（3）当时，，

时，由，解得．

即时，，单调递增，又，所以此时，

与恒成立矛盾．

综上，的值为1．