Question

【题目】设数列为首项是4，公差为1的等差数列，为数列的前项和，且。

（1）求数列及的通项公式和；

（2）问是否存在使成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；

（3）对任意的正数,不等式恒成立，求正数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据等差数列通项公式求得的通项公式，利用求得的通项公式.

（2）假设存在符合条件的，对分为奇数和偶数两种情况进行分类讨论，结合，判断出符合条件的正整数不存在.

（3）将原不等式分离常数，利用数列的单调性求得的取值范围.

（1）依题意数列为首项是，公差为的等差数列，所以.由于为数列的前项和，且.当时，，当时，，也符合上式，故.

（2）假设符合条件的存在.由（1）得.

当为正奇数时，为正偶数，由得，解得，不符合题意.

当为正偶数时，为正奇数，由得，解得，不符合题意.

综上所述，符合条件的正整数不存在.

（3）由（1）知，代入得.

设，则，即，所以是单调递增数列，最小值为.所以的取值范围是.