Question

8．20名学生某次数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求a的值，并估计这20名学生的平均成绩；
（Ⅱ）从成绩在[50，90）的学生中任选2人，求恰好有1人的成绩在[50，70）中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图的小长方形的面积之和为1，即可求得a的值，根据平均数的求法，即可求得这20名学生的平均成绩；
（Ⅱ）[50，70）的学生有2人，[70，90）的学生有3人，分别求得在[50，90）的学生中任选2人可能发生的情况及恰好有1人的成绩在[50，70）的情况，根据古典概型概率公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）（2a+3a+7a+6a+2a）×20=20a×20=1，得$a=\frac{1}{400}$，
$\overline x=2a×20×60+3a×20×80+7a×20×100+6a×20×120+2a×20×140$=41200a=103（分），
这20名学生的平均成绩103（分）；                                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，[50，70）的学生有2人，记为：A，B；…（7分）
[70，90）的学生有3人，记为：C，D，E；
在[50，90）的学生中任选2人，有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}；{C，D}，{C，E}；{D，E}，共10种情况．…（10分）
恰好有1人的成绩在[50，70），有：{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}，共6种情况．
记事件“恰好有1人的成绩在[50，70）”为A，
则$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．                                  …（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、列举法计算基本事件及事件发生的概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．