Question

3．已知函数f（x）=2015^x-log₂₀₁₅（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2015^-x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可先设g（x）=$201{5}^{x}-lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{-x}$，根据要求的不等式，可以想着判断g（x）的奇偶性及其单调性：容易求出g（-x）=-g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（-x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．

解答 解：设g（x）=$201{5}^{x}-lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{-x}$；
g（-x）=$201{5}^{-x}+lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{x}$=-g（x）；
g′（x）=$201{5}^{x}ln2015+\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）•\sqrt{{x}^{2}+1}•ln2015}$+2015^-xln2015＞0；
∴g（x）在R上单调递增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞g（-x）；
∴3x+1＞-x；
解得x$＞-\frac{1}{4}$；
∴原不等式的解集为$（-\frac{1}{4}，+∞）$．
故答案为：（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 考查对数的运算，平方差公式，奇函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，并注意正确求导．