Question

已知函数f（x）=（x²+x-a）e（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，求函数f（x）在[m，m+1]（m≥-5）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）利用导数确定函数的极值，通过讨论确定函数在给定区间上的最小值．
解答：解：（1），
当a=1时，f'（x）=x（x+3）e^x．
解f'（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f'（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0），
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，所以，解得a=2（经检验a=2符合题意）所以．

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）		（0，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

所以函数f（x）在（-∞，-5），（0，+∞）递增，在（-5，0）递减
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]单调递减，．
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，
f（x）在[m，0]单调递减，在[0，m+1]单调递增，f_min?（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]单调递增，．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握函数的单调性，奇偶性和函数最值和单调性之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强．