Question

等腰Rt△ABC中，斜边BC=4

2

，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

分析：由题意知，等腰Rt△ABC的周长等于 4a，解出a 值，再根据 AD=2a-AC=2

2

，Rt△ACD中，由勾股定理求得c值，计算可得答案．

解答：解：∵等腰Rt△ABC中，斜边BC=4

2

，∴AB=AC=4，
设另一个焦点为 D，
由椭圆的定义知，AC+AD=BD+BC=2a，
故等腰Rt△ABC的周长等于4a，
∴4a=4+4+4

2

，a=2+

2

，
又AD=2a-AC=2a-4=2

2

，
Rt△ACD中，由勾股定理得（2c）²=4²+(2

2

)2，∴c=

6

，
∴e=

c

a

=

6

2+ 2

=

6 (2- 2 )

2

=

6

-

3

，
故答案为

6

-

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、勾股定理，以及椭圆的简单性质的应用．