Question

等差数列{a_n}的首项为a₁，公差d=-1，前n项和为S_n
（Ⅰ）若S₅=-5，求a₁的值；
（Ⅱ）若S_n≤a_n对任意正整数n均成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件得，s5=5a1+

5×4

2

d=-5，结合已知公差d可求a₁
（Ⅱ）由S_n≤a_n，代人等差数列的求和公式及通项公式整理，变量分离得：（n-1）a₁≤

1

2

n2-

3n

2

+1=

1

2

(n-1)(n-2)，转化为求解最值即可

解答：解：（Ⅰ）由条件得，s5=5a1+

5×4

2

d=-5          …（3分）
∵d=-1
解得a₁=1                                     …（5分）
（Ⅱ）由S_n≤a_n，代人得-

1

2

n2+(a1+

1

2

)n≤a1+1-n    …（7分）
整理，变量分离得：（n-1）a₁≤

1

2

n2-

3n

2

+1=

1

2

(n-1)(n-2) …（9分）
当n=1时，上式成立                             …（10分）
当n＞1时，a1≤

1

2

(n-2)                        …（11分）
n=2时，

1

2

(n-2)取到最小值0，…（12分）
∴a₁≤0        …（14分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，恒成立问题与最值求解问题的相互转化关系的应用．