Question

【题目】已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点 到焦点的距离等于．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于，两点（，两点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求△的外接圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义求抛物线的方程；（2）设直线的方程为．代入并整理得，利用根与系数的关系转化条件，解得．即直线的方程为．然后根据外心的几何性质，确定圆心坐标即可.

试题解析：

（1）抛物线的准线方程为，

所以点 到焦点的距离为．

解得．

所以抛物线的方程为．

（2）解法：设直线的方程为．

将代入并整理得，

由，解得．

设， ， ，

则， ，

因为，

因为，所以．

即，又 ，解得．

所以直线的方程为．

设的中点为,

则，，

所以直线的中垂线方程为．

因为的中垂线方程为，

所以△的外接圆圆心坐标为．

因为圆心到直线的距离为，且，

所以圆的半径．

所以△的外接圆的方程为．