Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设bn=an+2-

3

2

an+1，记{b_n}的前n项和为T_n，试比较S_n与T_n的大小．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列通式a_n=a₁q^（n-1）
根据S_n＞0，显然a₁＞0，
当q不等于1时，前n项和s_n=

a1(1-qn)

1-q

所以

(1-qn)

1-q

＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
当q=1时 仍满足条件
综上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）∵bn=an+2-

3

2

an+1
∴b_n=an+2-

3

2

an+1
=a_nq²-

3

2

a_nq
=

1

2

a_n（2q²-3q）
∴T_n=

1

2

（2q²-3q）S_n
∴T_n-S_n=

1

2

S_n（2q²-3q-2）=

1

2

S_n（q-2）（2q+1）
又因为S_n＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，当-1＜q＜-

1

2

或q＞2时，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n；
当-

1

2

＜q＜2且q≠0时，T_n-S_n＜0，即T_n＜S_n；
当q=-

1

2

，或q=2时，T_n-S_n=0，即T_n=S_n．