Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(，)，离心率是.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l过点E(－1，0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．

Answer 1

(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由已知可得解得a2＝4，b2＝1.

故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1，0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A(－1，)，B(－1，－)，显然|EA|＝2|EB|不成立．

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)．

由整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.

则Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

故x1＋x2＝－，①   x1x2＝.②

因为|EA|＝2|EB|，即x1＋2x2＝－3.③

①②③联立解得k＝±.

所以直线l的方程为x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0.