Question

如图,已知ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F.

求证：AF=AE.

Answer 1

证明：以正方形ABCD的边DC所在直线为x轴,点C为坐标原点,建立直角坐标系(如图所示).设正方形边长为1,则A、B点的坐标分别为A(－1,1)、B(0,1).若设点E的坐标为(x,y),则=(x,y－1), =(1,－1).

∵∥,

∴x·(－1)－1·(y－1)=0,

即x+y=1.                                                        ①

又CE=AC,

∴x²+y²=2.                                                      ②

∴点E在y轴右侧.

∴由①②,得E的坐标为(,).

∴|AE|=.

再设点F的坐标为(x′,1),则=(x′,1).

又=(,),且∥,

∴x′－·1=0.

∴x′=－2－.

∴F(－2－,1).

从而|AF|=|－1－(－2－)|=+1.

∴AF=AE.