Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，且椭圆过点（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）求圆x²+（y-2）²=

1

4

上的点到椭圆C上点的距离的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：a=2，因为离心率e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，进而得到椭圆的方程．
（2）根据题意可得：椭圆的参数方程为

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），可得椭圆上的一点与圆心的距离d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，结合二次函数的有关性质求出d的范围，进而根据圆的性质得到答案．

解答：解：（1）因为椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆过点（2，0），
所以a=2，
又因为离心率e=

c

a

=

3

2

，
所以c=

3

，
所以b=1．
则椭圆的标准方程为

x2

4

+y2 =1．
（2）因为椭圆 的方程为

x2

4

+y2 =1，
所以椭圆的参数方程为

x=2sinθ y=cosθ

，（θ∈R），
设点P为椭圆上的一点，所以可得P（2sinθ，cosθ），
所以点P到圆x²+（y-2）²=

1

4

的圆心的距离d=

-3cos2θ-4cosθ+8

，
因为cosθ∈[-1，1]，所以根据二次函数的性质可得：d∈[1，

2 21

3

]，
所以根据圆的性质可得：圆上的点到椭圆C上点的距离的最小值为d-r=1-

1

2

=

1

2

；圆上的点到椭圆C上点的距离的最大值为d+r=

2 21

3

+

1

2

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及圆与圆锥曲线的位置关系；解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质，此题是一道综合性较强的题，属于中档题．