Question

 已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的的动点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长交椭圆于点，证明：；

Answer 1

 解：（Ⅰ）由题知：故故椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）设，由可得：

……由直线OM与ON的斜率之积为可得：

 ，即………

 由①②可得：

     M、N是椭圆上，故 故，即…

    由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;

（Ⅲ）设由题知

由题设可知斜率存在且满足…….③

  ……  将③代入④可得：

……⑤… 点在椭圆，故

     所以…