Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2

2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

OC

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）直线AB的方程与y²=2px联立，有4x²-5px+p²=0，从而x₁+x₂=

5p

4

，再由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=9，求得p，则抛物线方程可得．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0求得A（1，-2

2

），B（4，4

2

）．再求得设

OC

的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．

解答：解：（1）直线AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），与y²=2px联立，有4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=

5p

4

由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=9
∴p=4，∴抛物线方程是y²=8x．
（2）由p=4，4x²-5px+p²=0得：x²-5x+4=0，
∴x₁=1，x₂=4，
y₁=-2

2

，y₂=4

2

，从而A（1，-2

2

），B（4，4

2

）．
设

OC

=（x₃，y₃）=（1，-2

2

）+λ（4，4

2

）=（4λ+1，4

2

λ-2

2

）
又[2

2

（2λ-1）]²=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．