Question

设函数
（1）当时，求f（x）的最大值．
（2）令，以其图象上任一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当时，，

易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，故f（x）的最大值为．（6分）
（2），．
由题意，x₀∈（0，3]恒成立，即在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知当x₀=1时，取得最大值，
故． （12分）
分析：（1）当时，求出f（x），进而求得f′（x），由f′（x）的符号判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最大值．
（2）求出，由题意可得 在x₀∈（0，3]上恒成立，易知当x₀=1时，取得最大值，由此求得实数a的取值范围．
点评：本题主要考查利用导数求曲线在某点的切线斜率，求二次函数在闭区间上的最值，利用导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题．