Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的中点，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（Ⅰ）求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）求EG和平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-DC-F的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，欲证BD⊥EG，只需证

EG

与

BD

的数量积为零即可；
（Ⅱ）先求出面ABCD的法向量为

n

1，然后求出法向量为

n

1与

EG

的夹角，根据EG和平面ABCD所成的角与法向量为

n

1与

EG

的夹角互补即可求得；
（Ⅲ）先求出平面DFC的法向量为

n

2，利用两平面的法向量求出两向量的夹角的余弦值，从而得到二面角B-DC-F的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示的空间坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），G（2，2，0），F（0，3，0）．

EG

=（2，2，0），

BD

=（-2，2，2），（2分）
∴cos＜

EG

，

BD

＞=0，
∴BD⊥EG．（5分）
（Ⅱ）设面ABCD的法向量为

n

1=（x，y，z）则

n1

•

AB

=0，

n1

•

BC

=0，
即

2x-2z=0 4y=0

设x=1，即

n1

=(1，0，1)，（7分）
cos＜

n1

，

EG

＞=

1

2

，
EG和平面ABCD所成的角为30°．（10分）
（Ⅲ）设平面DFC的法向量为

n2

=(x，y，z)，

n2

•

DC

=0，

n2

•

FC

=0，

2x+2y-2z=0 2x+y=0

取x=1，

n2

=(1，-2，3)，（12分）
cos＜

n1

，

n2

＞=0，
∴所以二面角B-DC-F的斜弦值为0．

点评：立几中对空间的线线、线面、面面关系的考查是主线，在理科生中对空间向量的要求也是课标要求．