Question

在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______．

Answer 1

设两个球的球心分别为O₁、O₂，所得椭圆的长轴为AB，
直线AB与O₁O₂交于点E，设它们确定平面α，
作出平面α与两个球及圆柱的截面，如图所示
过A作O₁O₂的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O₁的大圆于点D，连接O₁D
∵Rt△O₁DE中，O₁E=

1

2

O₁O₂=

13

2

，O₁D=6
∴cos∠DO₁E=

O1D

O1E

=

12

13

∵锐角∠DO₁E与∠BAC的两边对应互相垂直
∴∠BAC=∠DO₁E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

12

13

∵AC长等于球O₁的直径，得AC=12
∴椭圆的长轴AB=13
故答案为：13