Question

函数y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0，（m＞0，n＞0）上，则

2

m

+

1

n

的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：最值问题经常利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的反函数图象恒过定点A，知A（-1，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式来求求最值．

解答：解：由已知定点A坐标为（-1，-1），由点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-m-n+1=0，即m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(m+n)=

m+n

m

+

2m+2n

n

=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2•

n m • 2m n

=3+2

2

，
故答案为：3+2

2

点评：当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．