Question

已知抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）．
（1）F为抛物线C的焦点，若|AM|=|AF|，求k的值；
（2）如果抛物线C上总存在点Q，使得QA⊥QB，试求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：先求出点M的坐标，再求出|AM|和|AF|利用|AM|=|AF|，求出k的值；
法二：利用抛物线的定义把|AF|的长转化为点A到准线的距离，再利用直线的倾斜角与|AM|和点A到准线的距离之间的关系求k的值；
（2）先把直线方程与抛物线方程联立消去x，得到关于A、B两点纵坐标之间的关系式再利用QA⊥QB，找到k的取值范围．（注意检验是否满足判别式）．
解答：解：（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
设A（x₁，y₁），则|AM|=，（1分）
|AF|=
=
=|x₁+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4=5，
解得k=±（2分）
法二：记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为a，
由抛物线的定义知|AM|=d，（2分）
∴cosa=±=±，
∴k=tana=±（3分）
（2）设Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得ky²-4y+4k=0，（1分）
首先由得-1＜k＜1且k≠0
k_QA===，
同理k_QB=（2分）
由QA⊥QB得，（2分）
即：y²+y（y₁+y₂）+y₁y₂=-16，
∴，（2分）
△=-80≥0，得-≤k≤且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[，0）∪（0，]（3分）
点评：本题考查抛物线的应用以及直线间的位置关系．在解决圆锥曲线问题时，定义法是比较常用的．