Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁；
（1）求证：平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
（2）求二面角B₁-AC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）令AC与BD的交点为O，连接B₁O，由正方体的几何特征及等腰三角形“三线合一”的性质，可得B₁O⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面B₁AC，进而由面面垂直的判定定理可得平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
（2）作B₁E⊥AC交AC于E点，连接BE．可得B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB，解三角形B₁EB，即可求出二面角B₁-AC-B的正切值．

解答：证明：（1）令AC与BD的交点为O，连接B₁O，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁A=B₁C，O为AC的中点
则B₁O⊥AC，又由AC⊥BD，B₁O∩BD=O
∴BD⊥平面B₁AC，
又∵BD?平面B₁BDD₁
∴平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
解：（2）作B₁E⊥AC交AC于E点，连接BE．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴AB₁=AC=B₁C，即ACB₁为等边三角形．
∴E点为AC的中点，
∴BE⊥AC
∴B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB
∴tan∠B₁EB=

BB1

BE

=

2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，（1）的关键是结合正方体的几何特征，得到BD⊥平面B₁AC，（2）的关键是确定B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB．