Question

1．已知函数f（x）=x²-2ax+lnx．
（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若不等式2xlnx≥x²+ax+lnx在区间（0，e]上恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （　　）由题意根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据此切线与直线x-2y+1=0垂直，求得a的值．
（2）令f′（x）=0，根据导数的符号求得函数f（x）的单调区间．
（3）由题意可得a≤2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx在区间（0，e]上恒成立．令g（x）=2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx，由g′（x）＜0，可得g（x）在区间（0，e]上单调递减，求得g（x）的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）由题意可得，f（1）=1-2a，故点（1，f（1））即点（1，1-2a）．
∵f′（1）=（2x-2a+$\frac{1}{x}$）|_x=1=3-2a，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0垂直，
∴（3-2a）×$\frac{1}{2}$=-1，∴a=$\frac{5}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=x²-5x+lnx，f′（x）=2x-5+$\frac{1}{x}$，令f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+1}{x}$=0，求得x=$\frac{5±\sqrt{17}}{4}$．
在（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$）、（$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，+∞）上，f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间为（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$）、（$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，+∞）；
在（$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$ ）上，f′（x）＜0，故函数f（x）的减区间为（$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$ ）．
（3）若不等式2xlnx≥x²+ax+lnx在区间[0，e]上恒成立，即a≤2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx在区间（0，e]上恒成立．
令g（x）=2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx，g′（x）=$\frac{2}{x}$-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$（lnx-1）≤$\frac{2}{x}$-1≤$\frac{2}{e}$-1＜0，
故g（x）在区间（0，e]上是减函数，故g（x）的最小值为g（e）=2-e-$\frac{1}{e}$，故a≤2-e-$\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查求函数在某一点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．