Question

6．如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面APC，AB=2$\sqrt{3}$，AP=PC=CB=2．
（1）求证：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）通过已知条件，可得AC²=PA²+PC²，进而可得AP⊥平面PBC；
（2）在平面APC内作PQ⊥AC于Q、过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P-AB-C的平面角，计算即可．

解答 （1）证明：∵BC⊥平面APC，AC、AP?平面APC，
∴BC⊥AP，BC⊥AC，
∵AB=2$\sqrt{3}$，CB=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，
又∵AP=PC=2，∴AC²=PA²+PC²，故AP⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴AP⊥平面PBC；
（2）解：∵BC⊥平面APC，∴平面APC⊥平面ABC，
在平面APC内作PQ⊥AC于Q，则PQ⊥平面ABC，
过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P-AB-C的平面角，
在RT△APC中，PQ=$\frac{AP•PC}{AC}=\sqrt{2}$，
在RT△ABC中，QR=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故$tan∠PRQ=\frac{PQ}{QR}=\sqrt{3}$，
从而二面角P-AB-C的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．