Question

在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P（x₀，y₀）满足|PO|²=|PA|•|PB|，求x02+y02的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线与圆相切的性质即可求出；
（Ⅱ）利用两点间的距离公式、点在圆内满足的条件即可得出．

解答：解：（ I）由题意圆O的半径r 等于原点O到直线x-

3

y=4的距离，
即r=

4

1+3

=2，
∴圆的方程为x²+y²=4．
（ II）由x²=4，解得x=±2，不妨设A（-2，0），B（2，0）．
由|PO|²=|PA|•|PB|得

(x0+2)2+y02

•

(x0-2)2+y02

=x02+y02
整理得x02-y02=2．
令t=x02+y02=2y02+2=2(y02+1)；
∵点P（x₀，y₀）在圆O内，∴

x02+y02＜4 x02-y02=2

，由此得0≤y02＜1；
∴2≤2(y02+1)＜4，
∴t∈[2，4），∴(x02+y02)∈[2，4)．

点评：熟练掌握直线与圆相切的性质、两点间的距离公式、点在圆内满足的条件是解题的关键．