Question

已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞]内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（3）对于函数g（x）=（p-x）e^-x+1，若存在x₀∈[1，e]，使不等式g（x₀）≥lnx₀成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）因为f（x）在区间[1，+∞]内调递增令f′（x）≥0得到a的取值范围；
（2）a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，所以f（x）在[1，e]上为增函数，所以求出f（x）的最小值f（1）；在当0＜a≤

1

e

，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数，所以求出最小值f（e）；在

1

e

＜a＜1时，最小值为f（

1

a

）．把最小值综合起来即可；
（3）把x=x₀代入到g（x）=（p-x）e^-x+1中得到g（x₀），然后设h（x）=（lnx-1）e^x+x，求出其导函数h′（x）并证明其大于零得到函数是增函数，则最小值为h（1），得到p≥h（1）．

解答：解：f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)．
（1）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立
又∵当x∈[1，+∞)时，

1

x

≤1，
∴a≥1．即a的取值范围为[1，+∞）
（2）当a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）_min=f（1）=0
①当0＜a≤

1

e

，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数∴f(x)min=f(e)=1+

1-e

ae

．
②当

1

e

＜a＜1时，令f′(x)=0，得x=

1

a

∈(1，e)．又∵对于x∈[1，

1

a

)有f′(x)＜0，对于x∈(

1

a

，e]有f′(x)＞0，
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．
综上，f（x）在[1，e]上的最小值为
①当0＜a≤

1

e

时，f(x)min=1+

1-e

2e

；
②当

1

e

＜a＜1时，f(x)min=ln

1

a

+1-

1

a

．
③当a≥1时，f（x）_min=0
（3）因为x₀∈[1，e]，所以，存在x₀∈[1，e]使p≥(lnx0-1)ex0+x0成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，从而p≥h_min（x）（x∈[1，e]）h′(x)=(

1

x

+lnx-1)ex+1
由（2）知当a≥1时，f(x)=lnx+

1-x

ax

≥0成立，即

1

x

+lnx-1≥0在[1，e]上成立．
从而h′(x)=(

1

x

+lnx-1)ex+1≥0+1＞0，
所以，h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上单调递增．
所以，h_min（x）=h（1）=1-e所以，p≥1-e

点评：此题考查学生导数研究函数单调性的能力，恒等式成立的问题解决能力，以及利用导数求闭区间上的最值的能力．